函数

没图你说个JB！

这篇笔记需要图片！

有界函数

D:定义域;N,M:常数

设解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y=f(x),x\in D,\exists N\leqslant M,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle N\leqslant f(x)\leqslant M} ,称f(x)是D上的有界函数，N称为f(x)的下界，M称为f(x)的上界

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \exists N,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle N\leqslant f(x)} ，称f(x)有下界函数

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \exists M,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)\leqslant M} ，称f(x)有上界函数

几何意义

∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。

例1：证明f(x)=sin⁸⁰x-6cos⁶⁰ 2x有界

证：由f(x)的定义域为R，∃ x ∈ R

|f(x)|=|sin⁸⁰x-6cos⁶⁰2x|

≤ |sin⁸⁰x|+6|cos⁶⁰2x|

≤ 1+6

≤ 7

例2：证明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x} 有界

证：定义域是R

由解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle a^2+b^2\geqslant 2ab}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)}

若解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{ab}}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall x\in R}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |f(x)|=\frac{|x|}{1+|x|^2}|\sin x|}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \leqslant\frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2}=\frac{1}{2}}

知f(x)在R上是有界函数

无界函数

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall M>0,\exists X_m\in D} ，但是|f(x)|>M，称f(x)是D上的无界函数

例3：证明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}} 在(0,1]上是无界函数

证解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall M>0} ，若要|f(x)|>M成立

⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |\frac{1}{\sqrt x}|>M} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}>M} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{x^2}>M^2} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1}

取解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1]} ，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 0<x<\frac{1}{M^2}}

有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界

复合函数

设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数

由D(f)∩R(φ)≠Ø ,∃ u₀∈ D(f)∩ R

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0} 使u₀=φ(x₀) 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u_0\in D(f),u_0\in D,\exists y_0} 使y₀=f(u₀) ⇒y₀=f(φ(x₀))

x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，f(u)称为外（层）函数，φ(x)称为内（层）函数