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小青青的笔记 β

“函数”的版本间的差异

小 （→‎未完待续）
小 （→‎例3：证明f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0,1]上是无界函数）
 
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<math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
 
<math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
 
===几何意义===
 
===几何意义===
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<math>\exists M>0,\forall x\in D</math>都有<math>|f(x)|\leqslant M\Longleftrightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M </math>称y=f(x)在底上有界。
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∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。
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===例1：证明<math>f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x</math>有界===
 
  
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===例1：证明f(x)=sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup> 2x有界===
  
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证：由f(x)的定义域为R，<math>\exists x \in R</math>
 
  
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<math>|f(x)|=|\sin^{80}x-6\cos^{60}2x|</math>
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证：由f(x)的定义域为R，∃ x ∈ R
  
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<math>\leqslant |\sin^{80}x|+6|\cos^{60}2x|</math>
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|f(x)|=|sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup>2x|
  
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<math>\leqslant 1+6 </math>
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≤ |sin<sup>80</sup>x|+6|cos<sup>60</sup>2x|
  
−
<math>\leqslant 7</math>
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≤ 1+6
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≤ 7
  
 
===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===
 
===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===
第45行： 第46行：
 
证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立
 
证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立
  
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<math>\Longleftrightarrow |\frac{1}{\sqrt x}|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}</math>
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⇔<math>|\frac{1}{\sqrt x}|>M</math>⇔<math> \frac{1}{\sqrt{x}}>M</math>⇔<math> \frac{1}{x^2}>M^2</math>⇔<math> 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>
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取<math>x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1]</math>，<math>0<x<\frac{1}{M^2}</math>
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有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界
 +
 
 +
==复合函数==
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设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数
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由D(f)∩R(φ)≠Ø ,∃ u<sub>0</sub>∈ D(f)∩ R
 +
 
 +
<math>\Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0</math>使u<sub>0</sub>=φ(x<sub>0</sub>)
 +
<math> u_0\in D(f),u_0\in D,\exists y_0</math>使y<sub>0</sub>=f(u<sub>0</sub>)
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⇒y<sub>0</sub>=f(φ(x<sub>0</sub>))
  
−
===未完待续===
+
x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，f(u)称为外（层）函数，φ(x)称为内（层）函数

2019年5月16日 (四) 15:03的最新版本

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有界函数

D:定义域;N,M:常数

设解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y=f(x),x\in D,\exists N\leqslant M,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle N\leqslant f(x)\leqslant M} ,称f(x)是D上的有界函数，N称为f(x)的下界，M称为f(x)的上界

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \exists N,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle N\leqslant f(x)} ，称f(x)有下界函数

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \exists M,\forall x\in D,} 都有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)\leqslant M} ，称f(x)有上界函数

几何意义

∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。

例1：证明f(x)=sin80x-6cos60 2x有界

证：由f(x)的定义域为R，∃ x ∈ R

|f(x)|=|sin80x-6cos602x|

≤ |sin80x|+6|cos602x|

≤ 1+6

≤ 7

例2：证明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x} 有界

证：定义域是R

由解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle a^2+b^2\geqslant 2ab}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)}

若解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{ab}}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall x\in R}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |f(x)|=\frac{|x|}{1+|x|^2}|\sin x|}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \leqslant\frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2}=\frac{1}{2}}

知f(x)在R上是有界函数

无界函数

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall M>0,\exists X_m\in D} ，但是|f(x)|>M，称f(x)是D上的无界函数

例3：证明解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}} 在(0,1]上是无界函数

证解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall M>0} ，若要|f(x)|>M成立

⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |\frac{1}{\sqrt x}|>M} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}>M} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{x^2}>M^2} ⇔解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1}

取解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1]} ，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 0<x<\frac{1}{M^2}}

有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界

复合函数

设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数

由D(f)∩R(φ)≠Ø ,∃ u0∈ D(f)∩ R

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0} 使u0=φ(x0) 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u_0\in D(f),u_0\in D,\exists y_0} 使y0=f(u0) ⇒y0=f(φ(x0))

x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，f(u)称为外（层）函数，φ(x)称为内（层）函数

取自“http://test.largeq.cn/index.php?title=函数&oldid=162”