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==有界函数==
D:定义域;N,M:常数

设<math>y=f(x),x\in D,\exists N\leqslant M,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)\leqslant M</math>,称f(x)是D上的有界函数，N称为f(x)的下界，M称为f(x)的上界

<math>\exists N,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)</math>，称f(x)有下界函数

<math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
===几何意义===
∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。

===例1：证明f(x)=sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup> 2x有界===


证：由f(x)的定义域为R，∃ x ∈ R

|f(x)|=|sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup>2x|

≤ |sin<sup>80</sup>x|+6|cos<sup>60</sup>2x|

≤ 1+6 

≤ 7

===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===
证：定义域是R

由<math>a^2+b^2\geqslant 2ab</math>

<math>ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)</math>

若<math>a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{ab}</math>

<math>\forall x\in R</math>

<math>|f(x)|=\frac{|x|}{1+|x|^2}|\sin x|</math>

<math>\leqslant\frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2}=\frac{1}{2}</math>

知f(x)在R上是有界函数

==无界函数==
<math>\forall M>0,\exists X_m\in D</math>，但是|f(x)|>M，称f(x)是D上的无界函数
===例3：证明<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}</math>在(0,1]上是无界函数===
证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立

⇔<math>|\frac{1}{\sqrt x}|>M</math>⇔<math> \frac{1}{\sqrt{x}}>M</math>⇔<math> \frac{1}{x^2}>M^2</math>⇔<math> 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>

取<math>x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1]</math>，<math>0<x<\frac{1}{M^2}</math>

有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界

==复合函数==
设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数

由D(f)∩R(φ)≠Ø ,∃ u<sub>0</sub>∈ D(f)∩ R

<math>\Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0</math>使u<sub>0</sub>=φ(x<sub>0</sub>)
<math> u_0\in D(f),u_0\in D,\exists y_0</math>使y<sub>0</sub>=f(u<sub>0</sub>)
⇒y<sub>0</sub>=f(φ(x<sub>0</sub>))

x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，f(u)称为外（层）函数，φ(x)称为内（层）函数