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==有界函数==
D:定义域;N,M:常数

设<math>y=f(x),x\in D,\exists N\leqslant M,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)\leqslant M</math>,称f(x)是D上的有界函数，N称为f(x)的下界，M称为f(x)的上界

<math>\exists N,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)</math>，称f(x)有下界函数

<math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
===几何意义===
<math>\exists M>0,\forall x\in D</math>都有<math>|f(x)|\leqslant M\Longleftrightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M </math>称y=f(x)在底上有界。
===例1：证明<math>f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x</math>有界===


证：由f(x)的定义域为R，<math>\exists x \in R</math>

<math>|f(x)|=|\sin^{80}x-6\cos^{60}2x|</math>

<math>\leqslant |\sin^{80}x|+6|\cos^{60}2x|</math>

<math>\leqslant 1+6 </math>

<math>\leqslant 7</math>

===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===
证：定义域是R

由<math>a^2+b^2\geqslant 2ab</math>

<math>ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)</math>

若<math>a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{ab}</math>

<math>\forall x\in R</math>

<math>|f(x)|=\frac{|x|}{1+|x|^2}|\sin x|</math>

<math>\leqslant\frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2}=\frac{1}{2}</math>

知f(x)在R上是有界函数

==无界函数==
<math>\forall M>0,\exists X_m\in D</math>，但是|f(x)|>M，称f(x)是D上的无界函数
===例3：证明<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}</math>在(0,1]上是无界函数===
证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立

<math>\Longleftrightarrow |\frac{1}{\sqrt x}|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>

取<math>x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1],0<x<\frac{1}{M^2}</math>

有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界

===未完待续===