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==有界函数==
D:定义域;N,M:常数

设<math>y=f(x),x\in D,\exists N\leqslant M,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)\leqslant M</math>,称f(x)是D上的有界函数，N称为f(x)的下界，M称为f(x)的上界

<math>\exists N,\forall x\in D,</math>都有<math>N\leqslant f(x)</math>，称f(x)有下界函数

<math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
===几何意义===
<math>\exists M>0,\forall x\in D</math>都有<math>|f(x)|\leqslant M\Longleftrightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M </math>称y=f(x)在底上有界。
===例1：证明<math>f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x</math>有界===


证：由f(x)的定义域为R，<math>\exists x \in R</math>

<math>|f(x)|=|\sin^{80}x-6\cos^{60}2x|</math>

<math>\leqslant |\sin^{80}x|+6|\cos^{60}2x|</math>

<math>\leqslant 1+6 </math>

<math>\leqslant 7</math>

===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===