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小青青的笔记 β

集合

本页面内容所采用的数学符号遵循IMSS规范。

一些可区分的互不相同的东西构成的整体称为集合

目录

集合的表示形式

1.枚举法

N={1,2,3}

2.概括集合中元素的性质

A={x|x≥20}

子集、集合与相等

定义1设A、B为集合，如果A中的每个元素都属于B，则称A是B的子集记作A⊆B

A,B A⊆B,（B⊇A） x∈A,x∈B

真子集

A⊂B ⇔ A⊆B，∃x,x∈B,使x∉A

A⊄B ⇔ ∃x∈A，x∉B

显然

  1. A⊆A
  2. A⊆B,B⊆C⇒A⊆C
  3. Ø⊆A

康托悖论

主条目:康托悖论

M：所有集合的集合

2M⊆M |2M|≤|M|,|M|<|2M|

集合的运算

并运算

 
并集

设A,B为集合，A∪B={x|x∈A ∨ x∈B}

由属于A∨属于B的一切元素组成的集合称为A与B的并，记作A∪B

x∈A∪B⇔x∈A∨x∈B

x∉A∪B⇔x∉A∧x∉B

定理：设A,B,C为集合⇒

  1. A∪A=A
  2. A∪B=B∪A
  3. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  4. Ø∪A=A
  5. A∪B=B⇔A⊆B

设A1,A2......An为集，他们的并记为： 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i,1\leqslant i\leqslant n , x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}\Longleftrightarrow\exists\xi\in I,x\in A_\xi}

交运算

 
交集

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A \and x\in B \}}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x \in A \cap B\Longleftrightarrow x \in A \and x \in B}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\notin A \cap B\Longleftrightarrow x\notin A\or x \notin B}

定理2：设A，B，C为集合，则

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap A=A}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \varnothing\cap A=\varnothing}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}
  5. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in \bigcap_{i=1}^nA_i\Longleftrightarrow\forall i,1\leqslant i\leqslant n,x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I\subseteq N,x\in\bigcap_{\xi\in I}A_\xi\Longleftrightarrow\forall\xi\in I,x\in A_\xi}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcap_{i=1}^\infty A_i\Longleftrightarrow\forall i\in N,x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow} 称Ai与Aj不相交

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall i,j, 1\leqslant i,j\leqslant n ,A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow} 称A1与A2...与An为两两不相交的集序列

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (\bigcup_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcup_{\xi\in I}(A\cap A_\xi )}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (\bigcap_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcap_{\xi\in I}(A\cup A_\xi )}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
  5. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cup C)=A}
  6. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=A}

差运算

 
差集

设A,B为集合，由属于A∧不属于B的一切元素组成的集合称为A与B的差，记作A\B

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in A\setminus B\Longleftrightarrow x\in A\and x\notin B}

设A,B,C为集合，则

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus (A\cap C)}

对称差

 
对称差

设A,B为集合，则解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (A\setminus B)\cup(B\setminus A)} 称为A与B的对称差，记作AΔB

设A,B,C为集合，则

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\triangle B=B\triangle A}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\triangle A=\empty}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\triangle\empty =A}
  5. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)}

补集

 
补集

设S为集合，A⊆S,由属于S但不属于A的元素组成的集合称为A相对于S的补集，记作解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A',\overline{A},A^c,{\complement_S}^A}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in A^c\Leftrightarrow x\in S,x\notin A} 设S为集合A包含于S，则

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S^c=\empty}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \empty^c=S}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup A^c=S}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap A^c=\empty}

狄莫根（De Morgan）公式

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \{A_\xi\}_{\xi\in I}} 为集族,

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi})^c=x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}^c}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (x\in\bigcap_{\xi \in i} A_{\xi})^c=x\in\bigcap_{\xi \in i} A_{\xi}^c}

限制一下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (A\cup B)^c=A^c\cup B^c}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (A\cap B)^c=A^c\cap B^c}

笛卡尔积

主条目：笛卡尔积

有穷集合的基数

映射

主条目：映射

设X,Y为集合，如果存在一个法则f，使得在法则f下，对X中的每个元素x，在Y中有唯一的一个元素y与x对应，则称f为X到Y的映射，记为 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f:X\rightarrow Y}

有穷集合

设X为集合，如果X＝∅，则X是有穷的，且其基数为0，记作|X|=0；

如果∃n∈N，使得X与{1,2,...n}之间存在一个一一对应则x也是有穷的，且其基数|X|=n

计数法则

设A,B,C为集合

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=\empty } ，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |A\times B|=|A|\times |B|}

容斥原理（逐步淘汰原理）

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \exists x\in A \cup B }

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in A,x\notin B}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in B,x\notin A}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in A,x\in B}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle |A^c\cap B^c\cap C^c|=|S|-|A\cup B\cup C|}

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