集合

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一些可区分的互不相同的东西构成的整体称为集合

集合的表示形式

1.枚举法

N={1,2,3}

2.概括集合中元素的性质

A={x|x≥20}

子集、集合与相等

定义1设A、B为集合，如果A中的每个元素都属于B，则称A是B的子集记作A⊆B

A,B A⊆B,（B⊇A） x∈A,x∈B

真子集

A⊂B ⇔ A⊆B，∃x,x∈B,使x∉A

A⊄B ⇔ ∃x∈A，x∉B

显然

A⊆A
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C
Ø⊆A

康托悖论

主条目:康托悖论

M：所有集合的集合

2M⊆M |2M|≤|M|,|M|<|2M|

集合的运算

并运算

设A,B为集合，A∪B={x|x∈A ∨ x∈B}

由属于A∨属于B的一切元素组成的集合称为A与B的并，记作A∪B

x∈A∪B⇔x∈A∨x∈B

x∉A∪B⇔x∉A∧x∉B

定理：设A,B,C为集合⇒

A∪A=A
A∪B=B∪A
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Ø∪A=A
A∪B=B⇔A⊆B

设A₁,A₂......A_n为集，他们的并记为：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i,1\leqslant i\leqslant n , x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}\Longleftrightarrow\exists\xi\in I,x\in A_\xi}

交运算

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定理2：设A，B，C为集合，则

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解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B}

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解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I\subseteq N,x\in\bigcap_{\xi\in I}A_\xi\Longleftrightarrow\forall\xi\in I,x\in A_\xi}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcap_{i=1}^\infty A_i\Longleftrightarrow\forall i\in N,x\in A_i}

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解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
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解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=A}

差运算

设A,B为集合，由属于A∧不属于B的一切元素组成的集合称为A与B的差，记作A\B

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in A\setminus B\Longleftrightarrow x\in A\and x\notin B}

设A,B,C为集合，则

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus (A\cap C)}

对称差

设A,B为集合，则解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (A\setminus B)\cup(B\setminus A)} 称为A与B的对称差，记作AΔB