“集合”的版本间的差异

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<math>\forall i,j, 1\leqslant i,j\leqslant n ,A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow</math>称A<sub>1</sub>与A<sub>2</sub>...与A<sub>n</sub>为两两不相交的集序列
 
<math>\forall i,j, 1\leqslant i,j\leqslant n ,A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow</math>称A<sub>1</sub>与A<sub>2</sub>...与A<sub>n</sub>为两两不相交的集序列
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===分配律===
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# <math>A\cap (\bigcup_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcup_{\xi\in I}(A\cap A_\xi )</math>
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# <math>A\cup (\bigcap_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcap_{\xi\in I}(A\cup A_\xi )</math>
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# <math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)</math>
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# <math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)</math>
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# <math>A\cap (B\cup C)=A</math>
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# <math>A\cup (B\cap C)=A</math>

2019年5月15日 (三) 02:26的版本

本页面内容所采用的数学符号遵循IMSS规范。

一些可区分的互不相同的东西构成的整体称为集合

集合的表示形式

1.枚举法

N={1,2,3}

2.概括集合中元素的性质

A={x|x≥20}

子集、集合与相等

定义1设A、B为集合，如果A中的每个元素都属于B，则称A是B的子集记作A⊆B

A,B A⊆B,（B⊇A） x∈A,x∈B

真子集

A⊂B ⇔ A⊆B，∃x,x∈B,使x∉A

A⊄B ⇔ ∃x∈A，x∉B

显然

  1. A⊆A
  2. A⊆B,B⊆C⇒A⊆C
  3. Ø⊆A

康托悖论

主条目:康托悖论

M：所有集合的集合

2M⊆M |2M|≤|M|,|M|<|2M|

集合的运算

并运算

设A,B为集合，A∪B={x|x∈A ∨ x∈B}

由属于A∨属于B的一切元素组成的集合称为A与B的并，记作A∪B

x∈A∪B⇔x∈A∨x∈B

x∉A∪B⇔x∉A∧x∉B

定理：设A,B,C为集合⇒

  1. A∪A=A
  2. A∪B=B∪A
  3. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  4. Ø∪A=A
  5. A∪B=B⇔A⊆B

设A1,A2......An为集，他们的并记为： 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i,1\leqslant i\leqslant n , x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}\Longleftrightarrow\exists\xi\in I,x\in A_\xi}

交运算

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A \and x\in B \}}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x \in A \cap B\Longleftrightarrow x \in A \and x \in B}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\notin A \cap B\Longleftrightarrow x\notin A\or x \notin B}

定理2：设A，B，C为集合，则

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap A=A}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \varnothing\cap A=\varnothing}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}
  5. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in \bigcap_{i=1}^nA_i\Longleftrightarrow\forall i,1\leqslant i\leqslant n,x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle I\subseteq N,x\in\bigcap_{\xi\in I}A_\xi\Longleftrightarrow\forall\xi\in I,x\in A_\xi}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x\in\bigcap_{i=1}^\infty A_i\Longleftrightarrow\forall i\in N,x\in A_i}

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow} 称Ai与Aj不相交

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \forall i,j, 1\leqslant i,j\leqslant n ,A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow} 称A1与A2...与An为两两不相交的集序列

分配律

  1. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (\bigcup_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcup_{\xi\in I}(A\cap A_\xi )}
  2. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (\bigcap_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcap_{\xi\in I}(A\cup A_\xi )}
  3. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
  4. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
  5. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cap (B\cup C)=A}
  6. 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“http://test.largeq.cn/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A\cup (B\cap C)=A}
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