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IVEN：/* 例3：证明f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0,1]上是无界函数 */

2019-05-16T07:03:09Z

‎例3：证明f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0,1]上是无界函数

2019-05-14T14:46:38Z

‎复合函数

2019-05-14T14:39:08Z

‎例1：证明f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x有界

2019-05-14T14:34:19Z

‎几何意义

2019-05-14T14:29:48Z

‎复合函数

2019-05-14T14:04:54Z

‎未完待续

2019-05-14T13:33:12Z

‎例3：证明f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0,1]上是无界函数

2019-05-14T11:04:39Z

‎未完待续

2019-05-14T10:21:40Z

‎例2：证明f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x有界

2019-05-14T07:07:17Z

‎例1

@@ 第46行： / 第46行： @@
 证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立
-<math>\Longleftrightarrow |\frac{1}{\sqrt x}|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>
+⇔<math>|\frac{1}{\sqrt x}|>M</math>⇔<math> \frac{1}{\sqrt{x}}>M</math>⇔<math> \frac{1}{x^2}>M^2</math>⇔<math> 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>
-取<math>x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1],0<x<\frac{1}{M^2}</math>
+取<math>x=\frac{1}{(M+1)^2}\in (0,1]</math>，<math>0<x<\frac{1}{M^2}</math>
 有|f(x)|>M,知f(x)在(0,1]上无界

@@ 第55行： / 第55行： @@
 设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数
-由<math>D(f)\cap R(\varphi)\neq\empty ,\exists u_0\in D(f)\cap R</math>
+由D(f)∩R(φ)≠Ø ,∃ u<sub>0</sub>∈ D(f)∩ R
 <math>\Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0</math>使u<sub>0</sub>=φ(x<sub>0</sub>)

@@ 第11行： / 第11行： @@
 ∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。
-===例1：证明<math>f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x</math>有界===
+===例1：证明f(x)=sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup> 2x有界===
-证：由f(x)的定义域为R，<math>\exists x \in R</math>
+证：由f(x)的定义域为R，∃ x ∈ R
-<math>|f(x)|=|\sin^{80}x-6\cos^{60}2x|</math>
+|f(x)|=|sin<sup>80</sup>x-6cos<sup>60</sup>2x|
-<math>\leqslant |\sin^{80}x|+6|\cos^{60}2x|</math>
+≤ |sin<sup>80</sup>x|+6|cos<sup>60</sup>2x|
-<math>\leqslant 1+6 </math>
+≤ 1+6
-<math>\leqslant 7</math>
+≤ 7
 ===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===

@@ 第9行： / 第9行： @@
 <math>\exists M,\forall x\in D,</math>都有<math>f(x)\leqslant M</math>，称f(x)有上界函数
 ===几何意义===
-<math>\exists M>0,\forall x\in D</math>都有<math>|f(x)|\leqslant M\Longleftrightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M </math>称y=f(x)在底上有界。
+∃ M>0,∀ x∈D，都有|f(x)|≤ M⇔ -M≤ f(x)≤ M 称y=f(x)在底上有界。
 ===例1：证明<math>f(x)=\sin^{80}x-6\cos^{60} 2x</math>有界===

@@ 第52行： / 第52行： @@
 ==复合函数==
-设<math>y=f(u),u\in D(f) u=\varphi u\in R(\varphi)\and D(f)\cap R(\varphi)\neq\empty</math>则称<math>y=f(\varphi (x))</math>为x的复合函数
+设y=f(u),u∈D(f), u=φ(x),u∈ R(φ),且D(f)∩R(φ)≠Ø则称y=f(φ(x))为x的复合函数
 由<math>D(f)\cap R(\varphi)\neq\empty ,\exists u_0\in D(f)\cap R</math>

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第51行：		第51行：
	有\|f(x)\|>M,知f(x)在(0,1]上无界		有\|f(x)\|>M,知f(x)在(0,1]上无界

−	===~~未完待续~~===	+	==复合函数==
		+	设<math>y=f(u),u\in D(f) u=\varphi u\in R(\varphi)\and D(f)\cap R(\varphi)\neq\empty</math>则称<math>y=f(\varphi (x))</math>为x的复合函数
		+	由<math>D(f)\cap R(\varphi)\neq\empty ,\exists u_0\in D(f)\cap R</math>
		+
		+	<math>\Rightarrow u_0\in R(\varphi ),\exists x_0</math>使u<sub>0</sub>=φ(x<sub>0</sub>)
		+	<math> u_0\in D(f),u_0\in D,\exists y_0</math>使y<sub>0</sub>=f(u<sub>0</sub>)
		+	⇒y<sub>0</sub>=f(φ(x<sub>0</sub>))
		+
		+	x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，f(u)称为外（层）函数，φ(x)称为内（层）函数

@@ 第45行： / 第45行： @@
 证<math>\forall M>0</math>，若要|f(x)|>M成立
-<math>\Longleftrightarrow |\frac{1}{\sqrt x}|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}</math>
+<math>\Longleftrightarrow |\frac{1}{\sqrt x}|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}\and 0<x\leqslant 1</math>
 ===未完待续===

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第39行：		第39行：

	知f(x)在R上是有界函数		知f(x)在R上是有界函数
		+
		+	==无界函数==
		+	<math>\forall M>0,\exists X_m\in D</math>，但是\|f(x)\|>M，称f(x)是D上的无界函数
		+	===例3：证明<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}</math>在(0,1]上是无界函数===
		+	证<math>\forall M>0</math>，若要\|f(x)\|>M成立
		+
		+	<math>\Longleftrightarrow \|\frac{1}{\sqrt x}\|>M\Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}>M\Longleftrightarrow \frac{1}{x^2}>M^2\Longleftrightarrow 0<x<\frac{1}{M^2}</math>

	===未完待续===		===未完待续===

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第24行：		第24行：

	===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===		===例2：证明<math>f(x)=\frac{x}{1+x^2}\sin x</math>有界===
		+	证：定义域是R
		+
		+	由<math>a^2+b^2\geqslant 2ab</math>
		+
		+	<math>ab\leqslant \frac{1}{2}(a^2+b^2)</math>
		+
		+	若<math>a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{ab}</math>
		+
		+	<math>\forall x\in R</math>
		+
		+	<math>\|f(x)\|=\frac{\|x\|}{1+\|x\|^2}\|\sin x\|</math>
		+
		+	<math>\leqslant\frac{\frac{1}{2}(\|x\|^2+1)}{1+\|x\|^2}=\frac{1}{2}</math>
		+
		+	知f(x)在R上是有界函数
		+
		+	===未完待续===