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一些可区分的互不相同的东西构成的整体称为集合
==集合的表示形式==
===1.枚举法===
N={1,2,3}
===2.概括集合中元素的性质===
A={x|x≥20}
== 子集、集合与相等==
定义1设A、B为集合，如果A中的每个元素都属于B，则称A是B的子集记作A⊆B

A,B A⊆B,（B⊇A）
x∈A,x∈B

===真子集===
A⊂B ⇔ A⊆B，∃x,x∈B,使x∉A

A⊄B ⇔ ∃x∈A，x∉B

===显然===
#A⊆A
#A⊆B,B⊆C⇒A⊆C
#Ø⊆A

==康托悖论==
''主条目:[[康托悖论]]''

M：所有集合的集合

2M⊆M |2M|≤|M|,|M|<|2M|

==集合的运算==
===并运算===
[[文件:并集.png|有框|右|并集]]
设A,B为集合，A∪B={x|x∈A ∨ x∈B}

由属于A∨属于B的一切元素组成的集合称为A与B的并，记作A∪B

x∈A∪B⇔x∈A∨x∈B

x∉A∪B⇔x∉A∧x∉B

定理：设A,B,C为集合⇒
# A∪A=A
# A∪B=B∪A
# (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
# Ø∪A=A
# A∪B=B⇔A⊆B

设A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>......A<sub>n</sub>为集，他们的并记为：
<math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>

<math>x\in\bigcup_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i,1\leqslant i\leqslant n , x\in A_i</math>

<math>x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}\Longleftrightarrow\exists\xi\in I,x\in A_\xi</math>
===交运算===
[[文件:交集.png|有框|右|交集]]
<math>A\cap B=\{x|x\in A \and x\in B \}</math>

<math>x \in A \cap B\Longleftrightarrow x \in A \and x \in B</math>

<math>x\notin A \cap B\Longleftrightarrow x\notin A\or x \notin B</math>

定理2：设A，B，C为集合，则
# <math>A\cap A=A</math>
# <math>A\cap B=B\cap A</math>
# <math>\varnothing\cap A=\varnothing</math>
# <math>A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C</math>
# <math>A\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B</math>
<math>x\in \bigcap_{i=1}^nA_i\Longleftrightarrow\forall i,1\leqslant i\leqslant n,x\in A_i</math>

<math>I\subseteq N,x\in\bigcap_{\xi\in I}A_\xi\Longleftrightarrow\forall\xi\in I,x\in A_\xi</math>

<math>x\in\bigcap_{i=1}^\infty A_i\Longleftrightarrow\forall i\in N,x\in A_i</math>

<math>A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow</math>称A<sub>i</sub>与A<sub>j</sub>不相交

<math>\forall i,j, 1\leqslant i,j\leqslant n ,A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow</math>称A<sub>1</sub>与A<sub>2</sub>...与A<sub>n</sub>为两两不相交的集序列
# <math>A\cap (\bigcup_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcup_{\xi\in I}(A\cap A_\xi )</math>
# <math>A\cup (\bigcap_{\xi\in I}A_\xi )=\bigcap_{\xi\in I}(A\cup A_\xi )</math>
# <math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)</math>
# <math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)</math>
# <math>A\cap (B\cup C)=A</math>
# <math>A\cup (B\cap C)=A</math>
===差运算===
[[文件:差集.png|有框|右|差集]]
设A,B为集合，由属于A∧不属于B的一切元素组成的集合称为A与B的差，记作A\B

<math>x\in A\setminus B\Longleftrightarrow x\in A\and x\notin B</math>

设A,B,C为集合，则
# <math>A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus (A\cap C)</math>
===对称差===
[[文件:对称差.png|有框|右|对称差]]
设A,B为集合，则<math>(A\setminus B)\cup(B\setminus A)</math>称为A与B的对称差，记作AΔB

设A,B,C为集合，则
# <math>A\triangle B=B\triangle A</math>
# <math>A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C</math>
# <math>A\triangle A=\empty</math>
# <math>A\triangle\empty =A</math>
# <math>A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)</math>

===补集===
[[文件:补集.png|有框|右|补集]]
设S为集合，A⊆S,由属于S但不属于A的元素组成的集合称为A相对于S的补集，记作<math>A',\overline{A},A^c,{\complement_S}^A</math>

<math>x\in A^c\Leftrightarrow x\in S,x\notin A</math>
设S为集合A包含于S，则
# <math>S^c=\empty</math>
# <math>\empty^c=S</math>
# <math>A\cup A^c=S</math>
# <math>A\cap A^c=\empty</math>
===狄莫根（De Morgan）公式===
<math>\{A_\xi\}_{\xi\in I}</math>为集族,

<math>(x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi})^c=x\in\bigcup_{\xi \in i} A_{\xi}^c</math>

<math>(x\in\bigcap_{\xi \in i} A_{\xi})^c=x\in\bigcap_{\xi \in i} A_{\xi}^c</math>

限制一下：

<math>(A\cup B)^c=A^c\cup B^c</math>

<math>(A\cap B)^c=A^c\cap B^c</math>

===笛卡尔积===
主条目：[[笛卡尔积]]
==有穷集合的基数==
===映射===
''主条目：[[映射]]''

设X,Y为集合，如果存在一个法则f，使得在法则f下，对X中的每个元素x，在Y中有唯一的一个元素y与x对应，则称f为X到Y的映射，记为
<math>f:X\rightarrow Y</math>
===有穷集合===
设X为集合，如果X＝∅，则X是有穷的，且其基数为0，记作|X|=0；

如果∃n∈N，使得X与{1,2,...n}之间存在一个一一对应则x也是有穷的，且其基数|X|=n
===计数法则===
设A,B,C为集合
# <math>A\cap B=\empty </math>，<math> |A\cup B|=|A|+|B|</math>
# <math>|A\times B|=|A|\times |B|</math>
====容斥原理（逐步淘汰原理）====
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

<math>\exists x\in A \cup B </math>
# <math>x\in A,x\notin B</math>
# <math>x\in B,x\notin A</math>
# <math>x\in A,x\in B</math>
<math>|A^c\cap B^c\cap C^c|=|S|-|A\cup B\cup C|</math>